stetigkeit von funktionen aufgaben lösungen

+ {\displaystyle \ln } . {\displaystyle h(0)>0} Die Funktion , 0 ) Abb. ϵ Eine Stellen, an der man durch Null dividiert, nennt man in der Mathematik auch eine Singularit¨at . {\displaystyle \delta ={\tfrac {\epsilon }{K}}} f 1 4 , kommt nur Lösung Für (x;y) 6= (0 ;0) ist die unktionF als Zusammensetzung stetiger unktionenF stetig. {\displaystyle f_{n}'(x)=\underbrace {nx^{n-1}} _{>0}+\underbrace {4n^{2}} _{>0}>0} ) 0 1 c {\displaystyle f({\tilde {x}})=0} {\displaystyle x\mapsto 1-x^{2}} R x {\displaystyle f({\tilde {x}})=0} > f Wir weisen darauf hin, dass eine in \(x_0\) unstetige Funktion nach unserer Definition in \(x_0\) definiert ist. x {\displaystyle f} {\displaystyle f} gibt, die jeden ihrer Funktionswerte genau n {\displaystyle \lim _{x\to \infty }g(x)=\infty } x ] \(\Rightarrow\) Da Grenzwert und Funktionswert übereinstimmen, ist die Funktion an der Stelle \(x_0 = 0\) stetig. = Teilen! Zähler und Nenner von ) Jeden Monat werden meine Erklärungen von bis zu 1 Million Schülern, Studenten, Eltern und Lehrern aufgerufen. {\displaystyle x} Analysis: Stetigkeit von Funktionen. Lösung: Stetigkeit: Die y-Werte beider Funktionen müssen bei x=-1 gleich sein. ∈ f h {\displaystyle K\cdot \delta =\epsilon } x − 0 {\displaystyle f_{n}} für Finden Sie die Grenzwerte von Lösung. {\displaystyle x=0} für \(\mathbb{D} = \mathbb{R}\) und \(a \in \mathbb{R}^{+}\backslash\{1\}\), für \(\mathbb{D} = \mathbb{R}^{+}\) und \(a \in \mathbb{R}^{+}\backslash\{1\}\), Grenzwert einer gebrochenrationalen Funktion. Abonniere jetzt meinen Newsletter und erhalte 3 meiner 46 eBooks gratis! x gilt: π {\displaystyle \lim _{x\to c-}h(x)=-\infty } − x {\displaystyle \epsilon =\delta } ) ( x , , | ist auf g ( 2 Sei ] ) n + 2 > x ex, x > 0 , 0, x ≤ . ] f 2 auf diesem Intervall streng monoton steigend. {\displaystyle f^{-1}(0)={\tfrac {0}{1+{\sqrt {1+0^{2}}}}}={\tfrac {0}{2}}=0} mit. ] Vermuten könnte man, dass die Funktion für positive x mit − {\displaystyle [1,\infty )} < 0 n , bei f {\displaystyle [0,\infty )} Zeige: Es keine stetige Funktion {\displaystyle n} > ~ [ {\displaystyle h({\tilde {x}})=0} x {\displaystyle x_{1}\in ]0;+\infty [} ln x Linksseitiger Grenzwert an der zu untersuchenden Stelle x0 3. 2 ] {\displaystyle \lim _{x\to b+}h(x)=\infty } ∈ , also benötigen wir die Fallunterscheidung nicht mehr. ( 6 Aufgabe 7. > {\displaystyle x_{2}\in ]0;+\infty [} f | ( ( Aufgabe 2: a) Die Funktion f 1(x) ist ub¨ erall stetig außer an der Stelle x 0 = 0. als rationale Funktion mit positivem Nenner. R {\displaystyle f(x)={\frac {6x^{2}+x}{x^{3}+x^{2}+x+1}}} 1 f [ ≠ , 0 ( ( {\displaystyle n\in \mathbb {N} } {\displaystyle h} ) 1 0 = x Ohne Einschränkung sei δ {\displaystyle x={\frac {-1+{\sqrt {1+y^{2}}}}{y}}} Über 1.000 Original-Prüfungsaufgaben mit Lösungen Digitales Schulbuch: Über 1.700 Themen mit Aufgaben und Lösungen Monatlich kündbar, lerne solange du möchtest! {\displaystyle [0,\infty )} f ) ) → mit {\displaystyle f>0} ) Klausur. Es gelten die selben Vorraussetzungen, wie in der ersten Klausur. < 6.1-7). {\displaystyle f:[0,1]\to \mathbb {R} } (ii) bedeutet, dass f¨ur die partiellen Ableitungen u x,u y,v x,v g als Quotient der stetigen Funktionen , 0 ist stetig als Komposition der stetigen Funktionen → ( ~ {\displaystyle \epsilon >0} eine natürliche Zahl. x 0 {\displaystyle x,y\in \mathbb {R} } Dann gilt. Mit Aufgaben und Lösungen. als Polynomfunktion differenzierbar ist und {\displaystyle f_{n}} 0 {\displaystyle x\mapsto 2x} ] {\displaystyle x} 0 Aufgaben zu Grenzwerten und Stetigkeit Aufgabe 1: Grenzwerte für x ± a) Untersuchen Sie die Funktion f(x) = 3x 3 x 1 − + auf Definitionsbereich, Achsenschnittpunkte, Asymptoten, hebbare Lücken sowie Vorzeichenwechsel und zeichnen Sie eine Schaubildskizze. b ∞ ( 2 ϵ ∞ R = x a ≠ 0 ⁡ ∞ < Aufgabe (Stetigkeit der Umkehrfunktion 1), Sei δ = 1 . stetig und [ Prüfen, ob \(x_0\) zur Definitionsmenge gehört, 2.) x Stetigkeit von Funktionen einfach erklärt Aufgaben mit Lösungen Zusammenfassung als PDF Jetzt kostenlos dieses Thema lernen! 0 {\displaystyle x\in (-1,1)} δ 0 Diese werden in den folgenden Kapiteln ausführlich erläutert. {\displaystyle f} L¨osung: a) Sei (U i) i∈I eine beliebige oﬀene Uberdeckung von¨ S n k=1 A k. Somit ist (U i) i∈I aucheineoﬀeneUberdeckungjedes� Feedback? Bei dieser Mission kannst du, Lipschitz-stetige Funktionen sind gleichmäßig stetig, Teilfolgen, Häufungspunkte und Cauchy-Folgen, Trigonometrische und Hyperbolische Funktionen, Satz von der Stetigkeit der Umkehrfunktion, https://de.wikibooks.org/w/index.php?title=Mathe_für_Nicht-Freaks:_Aufgaben_zur_Stetigkeit&oldid=909608, Seiten, die doppelte Argumente in Vorlagenaufrufen verwenden, Creative Commons Namensnennung – Weitergabe unter gleichen Bedingungen. + (0;0) 0 ist sie auch bei (0;0) stetig. ist für alle x 1 In diesen solltest du prüfen, ob deine Funktion stetig ist. Aus x 2 2 ) Sind die folgenden Funktionen in ihrer Definitionmenge stetig ? , definiert durch. Sei → und dem Nullstellensatz, dass es ein g c = Beweisschritt: b − im Intervall Aussage [2] veranschaulicht \[\lim_{x \to x_0} f(x) \text{ existiert nicht}\] In der Abbildung lässt sich leicht erkennen, dass der linksseitige Grenzwert (Annäherung an den weißen Punkt) und der rechtsseitige Grenzwert (Annäherung an den schwarzen Punkt) nicht übereinstimmen. x f : ( − x − Indem ich mich registriere, stimme ich den AGB und den Datenschutzbestimmungen zu. -Achse. , x Da jf(x;y) f(0;0)j= (x 2 + y2)sin(1 x2 + y2) x2 + y2 ! − {\displaystyle x\geq 1} \(f(x) = \frac{1}{x}\) ist in \(\mathbb{R}\backslash\{0\}\) stetig. ] ) für alle gilt ∈ [ 0 {\displaystyle {\tilde {x}}\in [0,{\tfrac {\pi }{2}}]} genau eine positive Nullstelle hat. immer positiv ist. \(f(x) =\begin{cases}x^2 & \text{für } x \neq 0\\1 & \text{für } x = 0\end{cases}\), \(\lim\limits_{x \to 0-} f(x) = \lim\limits_{x \to 0-} (x^2) = 0\), \(\lim\limits_{x \to 0+} f(x) = \lim\limits_{x \to 0+} (x^2) = 0\), \(\lim\limits_{x \to 0} f(x) = \lim\limits_{x \to 0-} f(x) = \lim\limits_{x \to 0+} f(x) = 0\), 3.) {\displaystyle x_{1}} 0 ( h f δ f [ + ist, folgt, Da ( > auf f 2 c Ein Beispiel für eine unstetige Funktion ist die Signumfunktion. > exp ) Teilaufgabe 3: Da R f x b x 2. < 0 1 n 0 : 1 0 Nach dem Nullstellensatz gibt es daher ein 1 ) Eine differenzierbare Funktion läßt sich ohne abzusetzen und ohne zu stoppen. Sei 0 ) ( {\displaystyle \epsilon >0} {\displaystyle f} 0 = − Seien x {\displaystyle \cos } Dazu schreibe man f = u+iv mit reellwertigen Funktionen u und v. Zum Nachweis von (i) genugt es zu zeigen, dass¨ u und v, aufgefasst als Funktionen u : (xy) 7−→u((xy)), v analog, nach x und y partiell diﬀerenzierbar sind und die partiellen Ableitungen stetig sind. = . Weiter gilt für x = Zur Berechnung von . {\displaystyle (0,1]} ( h1(-1)=h2(-1) ⇒ a⋅√2(−1)+b=(-1+2)5–0,8 ⇒ a⋅√−2+b=0,2 Leider ist das eine Gleichung mit zwei Unbekannten. besitzt kein Minimum. ( {\displaystyle f(x)>0} < , sowie. Sei In der mathematischen Literatur werden manchmal auch Definitionslücken als Unstetigkeitsstellen (= Stellen, an denen die Funktion nicht stetig ist) bezeichnet. . ≥ ϵ ( Seien lim Wir müssen zeigen, dass es für alle ] ist stetig als Komposition der stetigen Funktionen 2 x [ [ 1 {\displaystyle {\tilde {y}}\in (b,c)} − x f ) Sei = f < ( N ~ : auf {\displaystyle x} 0 ; ∞ ( Nach dem Satz über die Stetigkeit der Umkehrabbildung ist [ − f n = Wir werden dir deine Fragen gerne beantworten! ∈ {\displaystyle f} ) e [ stetig auf h Analog folgt die Existenz einer L¨osung im Intervall (1 ,2). 1 , liefert der Satz von Rolle (bzw. Aufgabe (Stetigkeit der Umkehrfunktion 2). exp Der Funktionswert an der Stelle x 0 = 0 ist außerdem nicht deﬁniert. Dafür betrachtet man am besten die Ableitung: Für positive Werte für 1 0 → ) 2 0 Intervall [α,β] ⊆ (−1,1), die die Gleichung erf¨ullt, da die Funktion in diesem Intervall deﬁniert und stetig ist. , d.h. f ⁡ ( x : 1 ↦ < ∞ ( f 0 Da stetigkeit; Gefragt 19 Jan von LolaL473. e Lösung anzeigen. ) ein mit 10 x {\displaystyle f_{n}} + = {\displaystyle \lim _{x\to c+}h(x)=\infty } Prüfen, ob Grenzwert und Funktionswert an der Stelle \(x_0\) übereinstimmen, Grenzwert: \(\lim\limits_{x \to 0} f(x) = 0\). für 0 bijektiv ist, gilt mit dem Satz von der Stetigkeit der Umkehrfunktion, dass. : x 1 lim Lässt sich der Grenzwert an der Stelle \(x_0\) berechnen? 4 = Wir wollen, dass alle Studierende die Konzepte der Hochschulmathematik verstehen und dass hochwertige Bildungsangebote frei verfügbar sind. ∞ 0 Den Bereich zur Analysis 1 gibt es jetzt auch als Buch! {\displaystyle f} f Aufgabe 37: Zeigen Sie, dass folgende Funktionen f : D → R lipschitz-stetig sind und berechnen Sie … {\displaystyle |x|<\delta } {\displaystyle |f(x)-f(y)|<\epsilon } (c) Nicht stetig, da die Funktion an der Stelle x0 = −1 nicht deﬁniert ist. 0 0 {\displaystyle K\in \mathbb {R} ^{+}} f [ y Kostenlos über 1.000 Aufgaben mit ausführlichen Lösungswegen. für alle g {\displaystyle x\mapsto \ln(x)} δ Nun müssen wir noch zeigen, dass es nur eine Nullstelle gibt. = (1) (2) Nahezu täglich veröffentliche ich neue Inhalte. . mit , ) Notwendiges Vorwissen: Einführung in die Grenzwertberechnung, Eine Funktion \(f(x)\) ist an einer Stelle \(x_0\) stetig, wenn, \[\qquad [1] \quad f(x_0) \text{ definiert ist}\], \[\qquad [2] \quad \lim_{x \to x_0} f(x) \text{ existiert}\], \[\qquad [3] \quad \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\]. {\displaystyle {\tilde {x}}} x ( x y {\displaystyle x=0} c n | 1 Das Epsilon-Delta-Kriterium garantiert uns so die Approximierbarkeit einer stetigen Funktion f : D → R {\displaystyle f:D\to \mathbb {R} } . x g 3 2. [ Sei f b)SeiKˆR einkompaktesIntervallundf: K!KeineFunktionderart,dass jf(x) f(y)j 0 sind weder f| [0,δ] noch g| [0,δ] die Nullfunktion. {\displaystyle [1,\infty )} {\displaystyle y=0}, Fall 2: Also ist die Aussage erfüllt mit ∞ geht ganz analog. . Schreiben Sie den Funktionsterm betragsfrei und zeichnen Sie den Graphen von f. Lösung Fallunterscheidung für das Argument 1. 1 − R ein ∞ {\displaystyle x,y\in \mathbb {R} } . 2 , was wiederum gleichwertig zu. n ) Es kann dabei entschieden werden, ob die Funktion stetig, differenzierbar oder sogar zweimal differenzierbar bzw. > , y ↦ < x ( ∈ + 1 Außerdem hat man eine reelle Zahl mit n {\displaystyle {\frac {1}{\ln(x+e)}}\in (0,1]} = ) Sie hat keine Sprünge und keine Brüche. ( = b 0 = ⏟ x 1 , − Für jeden Maximalfehler ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} und jede betrachtete Stützstelle x ~ {\displaystyle {\tilde {x}}} finden wir ein δ x ~ > 0 {\displaystyle \delta _{\tilde … h π {\displaystyle x_{1},x_{2}\in (a,b)} x f 0 stetig. f geben. Die meisten Funktionen, mit denen man in der Oberstufe zu tun hat, sind stetig. ) 0 x {\displaystyle f} h x x ) [ | wählt. 2 K . ∞ + . Aussage [3] veranschaulicht \[\lim_{x \to x_0} f(x) \neq f(x_0)\] In der Abbildung lässt sich leicht erkennen, dass der Grenzwert (sowohl der links- als auch der rechtsseitige Grenzwert nähern sich dem weißen Punkt an) nicht dem Funktionswert (schwarzer Punkt) an dieser Stelle entspricht. 2 ∈ stetig ist, lässt sich nun der Zwischenwertsatz anwenden, dieser liefert die Existenz zumindest einer solchen Nullstelle > , folgt, Mit der strengen Monotonie von ( x {\displaystyle h({\tilde {y}})=0} > {\displaystyle f} , cos auf jeden Fall oberhalb der + ( x ... Lösung A2. {\displaystyle \delta =\epsilon } {\displaystyle f} Stetigkeit - Stetigkeit und Differenzierbarkeit - Allgemeine Fragen zu Funktionen - Analysis - Baden-Württemberg - - SchulLV.de Created Date 9/1/2016 6:08:54 PM * Zu den rationalen Funktionen gehören sowohl ganzrationale (wie lineare Funktionen, quadratische Funktionen und Potenzfunktionen) als auch gebrochenrationalen Funktionen. , ∈ Aufgabe (Maximum und Minimum einer Funktion). ⏟ → x g in Frage. n {\displaystyle x_{1}0} 1 0 [ Mathematik und Statistik Übungsaufgaben mit Lösungsweg zum Thema Analysis speziell Stetigkeit. h ( 0 {\displaystyle x} ] Damit ist aber auch = {\displaystyle h(0)>0} c die einzige Nullstelle ist, führt man einen Widerspruchsbeweis: Angenommen es gibt noch eine weitere Nullstelle y {\displaystyle |f(x)-f(0)|<\epsilon } ) R {\displaystyle n>1} > + ~ ∞ und 0 {\displaystyle \mathbb {R} } ein Maximum an. ) ) − , Mit Mathods.com Mathematik- und Statistik-Klausuren erfolgreich bestehen. ] 0 , > y 2 ≠ . : f ist gleichm¨aßig stetig und g ist nur stetig, aber nicht gleichm¨aßig stetig. 0 {\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=0} gleichmäßig stetig ist. 1 2 {\displaystyle [0,{\tfrac {\pi }{2}}]} {\displaystyle x\mapsto \cos(x)} ϵ {\displaystyle g} ein Maximum, aber kein Minimum besitzt. {\displaystyle 1-x^{2}\neq 0} (x;y)! {\displaystyle x>0} ∞ ) [ π Also gilt die Behauptung. f : . ( ln mit n K 0 − {\displaystyle y\neq 0} stetig und streng monoton steigend. folgt < ( > : Nun ist . → . {\displaystyle x\mapsto x+e} ∈ → 1 Zeigen Sie, dass die Menge [n k=1 A k kompakt ist. {\displaystyle [0,{\tfrac {\pi }{2}}]} lim 0 f Lösung anzeigen. \(\Rightarrow\) Die Funktion ist an der Stelle \(x_0 = 0\) unstetig, da Grenzwert und Funktionswert an dieser Stelle nicht übereinstimmen. mit mit und . > Es ist insgesamt also Somit ist die Funktion überall stetig (Abb. {\displaystyle f} x + h 1 gibt. sin 0 , x , x und damit auch injektiv. = 0 {\displaystyle x} ( Somit ist jede Funktion stetig, welche aus durch die Operationen - gewonnen wird, darunter fallen ... 6.1.5 Aufgabe. ) ( genau eine Nullstelle hat. die Ungleichung {\displaystyle a,b,c\in \mathbb {R} } e Diese Funktionen sind stetig: Dies ist im Innern der Intervalle klar; an den Intervallgrenzen liegt stets der Wert 0 vor; f¨ur den Nullpunkt ergibt sich die Stetigkeit, da die Funktionen auf [0, 1 n] durch 1 n beschr¨ankt sind. 0 Auch für Kritik und Anmerkungen sind wir sehr dankbar! {\displaystyle \exp } {\displaystyle f} x 1 {\displaystyle \sin } 1 1 0 ) {\displaystyle f^{-1}} 0 > ) Mit Aufgaben und Lösungen. h krümmungsruckfrei ist. Beweisschritt: Beh. 2 x ∈ cos ) ∞ ist stetig als Komposition der stetigen Funktionen und . lim h ist somit eine Lösung der ursprünglichen Gleichung. ( streng monoton steigend ist, und Also ist f ) a = cos ) ⊂ lim ) δ ∞ ] x ) n 0 Beweise, dass bijektiv ist existiert, und ist ebenfalls bijektiv. Lösung (Maximum und Minimum einer Funktion), Beweisschritt: ( Der Fall an 0 ~ | ( > , + 0 ϵ Stetigkeit ist eine Eigenschaft von Funktionen. \(\lim\limits_{x \to 0-} f(x) = \lim\limits_{x \to 0-} (x^3) = 0\), \(\lim\limits_{x \to 0+} f(x) = \lim\limits_{x \to 0+} (x^3) = 0\). ∈ x {\displaystyle |x|<\delta } 1 {\displaystyle f_{n}(x_{1})=0=f_{n}(x_{2})} x n ) Dieses ist eine zweite Lösung der Gleichung. a . , − Aufgabe (6 Punkte) a) Seien A 1,..., A n kompakte Teilmengen eines metrischen Raumes (X,d). 0 1 ∈ < + c Dabei ist {\displaystyle f:[0,1]\to \mathbb {R} } ] Daher gibt es ~ Nach Annahme gilt. 1 ( 2 [ 1 {\displaystyle \lim _{x\to \infty }f_{n}(x)=+\infty } ( -Werte streng monoton steigend ist. ( {\displaystyle D=[0,\infty )} b Lösung anzeigen. In der folgenden Tabelle sind die wichtigsten stetigen Funktionen zusammengefasst. und dem Nullstellensatz, dass es ein f − , ( {\displaystyle (-1,1)} c Zuerst müssen wir beweisen, dass überhaupt eine positive Nullstelle existiert, also eine Nullstelle im Intervall {\displaystyle f^{-1}} − Jetzt Mathebibel TV abonnieren und keine Folge mehr verpassen! 1 π = ] , . ein 0 x ∈ 7 Bestelle dir dein Exemplar oder lade dir das Buch gleich kostenlos als PDF herunter: Fragen? , Beweis: zu (i): Wir zeigen die Deﬁnition der gleichm¨aßigen Konvergenz, d.h. x 1 + , 0 0 0 | , ] , , ) Dann gilt für alle = . f 1 und ϵ {\displaystyle [0,{\tfrac {\pi }{2}}]} a Lösung anzeigen. x 1 = | Aufgaben und Lösungen Mathematik - Stetigkeit. Zeigen müssen wir hier zwei Dinge: Nach dem Nullstellensatz gibt es daher ein x ( , Lösungen von Blatt X vom 18.12.14 Aufgabe X.1 (6Punkte) a)Seif: R !R eineimPunkt0 stetigeFunktionmitdenEigenschaften f(0) = 0 und f(x+ y) = f(x) + f(y) fürallex;y2R: ZeigenSie,dassfeinestetigeFunktionist. ] ist surjektiv. {\displaystyle f_{n}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,x\mapsto x^{n}+4n^{2}x-10} z ⁡ {\displaystyle g} x y ↦ ist. . = [ Dieses ist damit unsere dritte Lösung der Gleichung. {\displaystyle f} f n ~ {\displaystyle h(x_{1})>0} ) Aufgabe (Häufigkeit von Funktionswerten 1), Aufgabe (Häufigkeit von Funktionswerten 2). Dieses ist mit dem Gezeigten sogar global. = Abschnittsweise definierte Funktionen Stetigkeit und Differenzierbarkeit 4 1.4 Verkettete Betragsfunktionen Aufgabe 1 Gegeben ist die Funktion f mit dem Funktionsterm 2 1 f(x) x 9 2 , x IR . ) {\displaystyle x\in (-1,1)} Dieser Artikel steht unter einer freien CC-BY-SA 3.0 Lizenz. c 2 1 x > ) K mit > ) ) 1 = , : {\displaystyle x\in [0,\infty )} . x f ∈ [ mit x ϵ f , ( )
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