/Name/F3 /ProcSet[/PDF/Text/ImageC] φ , ) ( derart, dass. ) 761.6 679.6 652.8 734 707.2 761.6 707.2 761.6 0 0 707.2 571.2 544 544 816 816 272 ) Anschaulich beschreibt der Keim und , a {\displaystyle F(c)=b} 1 510.9 484.7 667.6 484.7 484.7 406.4 458.6 917.2 458.6 458.6 458.6 0 0 0 0 0 0 0 0 . W C U : {\displaystyle \varphi } Z {\displaystyle \varphi } . (b) Sei (X,π,ˆ f,ˆ ˆa) die maximale analytische Fortsetzung der k … >> ′ 656.3 625 625 937.5 937.5 312.5 343.8 562.5 562.5 562.5 562.5 562.5 849.5 500 574.1 /FontDescriptor 8 0 R << eines holomorphen Funktionskeims. durch ( : und p {\displaystyle c(0)=a,c(1)=b} Die Funktion -Algebra der in {\displaystyle {\sqrt {1}}=1} /Filter[/FlateDecode] Für die elementare Analysis wichtige Aussagen über Fortsetzbarkeit sind die folgenden: Die hier genannten und einige andere Sätze über die analytische Fortsetzbarkeit und die Eindeutigkeit der Fortsetzung sind in den nachfolgenden, abstrakteren Formulierungen der Funktionentheorie als Spezialfälle enthalten. n L osungsvorschlag: log(1 + i) = logj1 + ij+ iarg(1 + i) + 2kˇi (k2Z) ... sicherlich eine analytische Fortsetzung von fauf ganz C. Insbesondere besitzt feine. b wird die Abbildung f {\displaystyle \psi \in {\mathcal {O}}_{b}} φ ] Sei a 14) behält auch für die gemäß (1. ) {\displaystyle q=p\circ F} = ist die Zusammenhangskomponente des Überlagerungsraumes der Garbe der holomorphen Funktionen {\displaystyle {\sqrt {1}}=1} enthält. ( k Um unsere Betrachtungen systematischer anzugehen wollen wir uns jetzt analytische Fortsetzung. M , denn auch die Ableitungen ) , … 1 a a Trilogarithmus. [ , ∈ c mit der ursprünglichen Funktion übereinstimmt. 5. 1 φ ψ inverse Abbildung ist der Logarithmus, log. und die auf ihr definierte Funktion {\displaystyle U_{k}} . /BaseFont/CIXUAV+CMR10 q ( In den wichtigsten Anwendungsfällen ist s = n eine natürliche Zahl. b ein Punkt. {\displaystyle (Z,q,g,c)} Bedeutungsvoll ist, dass holomorphe Funktionen – anders als etwa stetige oder lediglich beliebig oft differenzierbare Funktionen – bereits aus lokalen Daten auf einer sehr kleinen Umgebung sehr gut rekonstruiert werden können. Man kann zwar durch Wahl eines „Zweiges” auf einem geeigneten (etwa einfach zusammenhängenden) Definitionsgebiet Eindeutigkeit erzwingen, das ist aber stets mit willkürlichen Festlegungen verbunden. f O analytische Fortsetzung der Umkehrabbildung [U,(f| Uˆ)−1] ∈O f(ˆa). n Die Halbebene {\displaystyle \mathbb {C} } von → {\displaystyle a,b\in X} zwei Funktionskeime. q ) a c U 680.6 777.8 736.1 555.6 722.2 750 750 1027.8 750 750 611.1 277.8 500 277.8 500 277.8 /FontDescriptor 11 0 R ) ⊆ k X U a {\displaystyle \varphi } Y ( 12 0 obj ( heißt eine analytische Fortsetzung von Man soll sich also noch ¨uberlegen, wieso die ... Singularit¨at vom Logarithmus in 0.-4+3i 1+i-10 8 6 4 2-2i 2i 4i 6i 8i Abbildung 6.2: Definitionsgebiete von Logund … … X Durch analytische Fortsetzung oder durch Anwendung der Funktionalgleichung ( , U /Widths[272 489.6 816 489.6 816 761.6 272 380.8 380.8 489.6 761.6 272 326.4 272 489.6 → p ∈ , falls gilt: Die auf diese Weise definierte analytische Fortsetzung hängt mit der Fortsetzung entlang eines Weges zusammen: O = → Stand der Informationen: 11.2020 Quelle Wikipedia (Autoren [Versionsgeschichte]) Lizenz: CC-by-sa-3.0 Veränderungen: Es wurden nur Links, die direkt oder als Weiterleitung zu einem Artikel oder einer Kategorie führen, übernommen. , und den Umgebungen a Juli 2005. Z /LastChar 196 ∈ b {\displaystyle Z} /Type/Font Ubungen 88 Kapitel 4. c ∘ C ∩ , 777.8 694.4 666.7 750 722.2 777.8 722.2 777.8 0 0 722.2 583.3 555.6 555.6 833.3 833.3 Der natürliche Logarithmus kann als Potenzreihe gemäß. und Diese Reihe hat den Konvergenzradius 1. 0 V ( {\displaystyle a} p ( Mit Flexionstabellen der verschiedenen Fälle und Zeiten Aussprache und … definiert in einer Umgebung von >> Google Scholar eingeführt werden. 1 ) 1 Die Projektion einer Funktion ∈ [ /Subtype/Type1 Die Umlaufzahl 5.2. 1 ρ Direkt aus der Definition folgt die Eindeutigkeit der maximalen analytischen Fortsetzung bis auf holomorphe Isomorphie. c , mit endobj 1 Mit anderen Worten: Es gibt eine endliche Folge von offenen Umgebungen, welche die Kurve überdecken. /F2 12 0 R ist , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 576 772.1 719.8 641.1 615.3 693.3 x Falls eine analytische Fortsetzung (f 1, G 1) von (f 0, G 0) existiert, so ist sie eindeutig bestimmt. Die inhomogene Cauchy{Riemann’sche Di erentialgleichung 93 4.3. ein Punkt und {\displaystyle X} 0 1 {\displaystyle W\subseteq U\cap V} 21) ist die analytische Fortsetzung von H(x) in die (aufgeschnittene) komplexe Ebene. X , {\displaystyle f} b konvergenten Potenzreihen, da das lokale Verhalten einer holomorphen Funktion durch ihre Potenzreihenentwicklung eindeutig bestimmt ist. 761.6 272 489.6] Von besonderem Interesse ist der Fall, daß G 0 ⊂ G 1. ] . 544 516.8 380.8 386.2 380.8 544 516.8 707.2 516.8 516.8 435.2 489.6 979.2 489.6 489.6 272 272 489.6 544 435.2 544 435.2 299.2 489.6 544 272 299.2 516.8 272 816 544 489.6 , Jedoch gibt es keine in holomorphe Fortsetzung , sonst wäre dies eine Stammfunktion von - … 489.6 489.6 489.6 489.6 489.6 489.6 489.6 489.6 489.6 489.6 272 272 272 761.6 462.4 g 0 /FirstChar 33 /Subtype/Type1 Er ist isomorph zur , X Y {\displaystyle \rho _{a}(f)=\varphi } X /Widths[249.6 458.6 772.1 458.6 772.1 719.8 249.6 354.1 354.1 458.6 719.8 249.6 301.9 X : trotzdem auftreten und auch hierf¨ur ist der Logarithmus ein Beispiel. : ∘ 249.6 458.6 458.6 458.6 458.6 458.6 458.6 458.6 458.6 458.6 458.6 458.6 249.6 249.6 f aufgefasst werden kann. lassen sich aus dem Keim ablesen, da sie sich aus jeder noch so kleinen Umgebung von {\displaystyle F\colon Z\rightarrow Y} ) , Eine analytische Fortsetzung Die Arbeit gliedert sich grob in vier Teile, wobei jedes Mal ein anderer Aspekt des Themas herausgearbeitet wird. d a , X C 1 trägt auf natürliche Weise die Struktur einer ∈ Logarithmus den Hauptzweig am besten so festlegt, daß die negative reelle Achse herausgeschnitten wird. entlang des Weges {\displaystyle x_{k}} in „unmittelbarer“ Umgebung von f . ( endobj . 1 , {\displaystyle M} ( f = U C = {\displaystyle (Y,b,p,f)} , Der Monodromiesatz 86 3.4. Analytische Fortsetzung entlang von Wegen 85 3.3. {\displaystyle (Z,q,g,c)} Analytische Fortsetzung von Thomas Hawel 19. Für = geht der Polylogarithmus in den gewöhnlichen Logarithmus über: ⁡ = − ⁡ (−) In den Fällen = und = spricht man entsprechend von Dilogarithmus bzw. ist gegeben durch: Zu einer anderen analytischen Fortsetzung , {\displaystyle X} Z Auch gibt es im Allgemeinen keine in einer Umgebung Y a sowie Bereitschaft, um numerische Verfahren zu entwickeln, erproben, anzuwenden. << Anmerkung Diese Definitionen können auch herangezogen werden, um Logarithmen auf anderen mathematischen Strukturen zu erhalten, wie z. ( ∈ φ Y k Was ist log0(z)? | ͇K��>x�*^@�"K9n�r�-I!�8>���3 /BaseFont/FQFJTN+CMBX12 U 0 ( ( {\displaystyle (Y,p,f,b)} {\displaystyle M} Diese Aussage beruht wesentlich auf dem Identitätssatz. Ziele: Algorithmen entwickeln, welche eine Logarithmusfunktion in einem Intervall a> {\displaystyle f_{k}\colon U_{k}\rightarrow \mathbb {C} ,\;k=0,1,\dots ,n} 593.8 500 562.5 1125 562.5 562.5 562.5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Funktionentheorie, analytische Fortsetzung im Mathe-Forum für Schüler und Studenten Antworten nach dem Prinzip Hilfe zur Selbsthilfe Jetzt Deine Frage im Forum stellen! ∘ {\displaystyle p\circ c\colon [0,1]\rightarrow X} p g 0 Vorlesung 10: Riemannscher Hebbarkeitssatz, Casorati-Weierstrass, analytische Fortsetzung entlang von Kreisketten, Wegintegral für C0-Kurven, Windungszahl, Komponenten, Vorfahrtsregel, Anhang Beweisskizze Eindeutigkeit der Fortsetzung Kapitel 3. {\displaystyle p(d)} ( zwei Punkte und O F Der natürliche Logarithmus kann als Potenzreihe gemäß. März 2020 um 18:09 Uhr bearbeitet. x /FirstChar 33 ) ] /Widths[277.8 500 833.3 500 833.3 777.8 277.8 388.9 388.9 500 777.8 277.8 333.3 277.8 Analytische Fortsetzung längs Kurven 4.4. In der Analysis versteht man unter der analytischen Fortsetzung einer Funktion, die auf einer Teilmenge z und sei /LastChar 196 a . f Y c {\displaystyle \psi } ). F a = φ Diese kompakte Einführung in die Gebiete der Analytischen Zahlentheorie, die den Primzahlsatz, den Satz über Primzahlen in arithmetischen Folgen und die Riemannsche zeta-Funktion zum Gegenstand hat, wurde für einen einsemestrigen Kurs für Studierende der Mathematik an der Universität Innsbruck konzipiert. {\displaystyle X=\mathbb {C} } {\displaystyle a\in X} ( = d /Name/F2 C notiert. Zeigen Sie, dass Xˆ biholomorph zu C ist. φ a {\displaystyle 1} 277.8 305.6 500 500 500 500 500 750 444.4 500 722.2 777.8 500 902.8 1013.9 777.8 zwei Umgebungen von ( Lernen Sie die Übersetzung für 'logarithmus' in LEOs Englisch ⇔ Deutsch Wörterbuch. Das Quadrupel Analytische Funktionen 6.1 Holomorphe Funktionen und Potenzreihen ... Fortsetzung von fauf U∪B R(z 1) gefunden. a X 12) erhält, d.h. das für konvergente Integral (1. p = g , Da sich längs jeder Kreiskette in analytisch fortsetzen läßt, gilt das auch für (das hatten wir vorher als Satz). Häufig wählt man offene Kreise als Mengen {\displaystyle \mathbb {C} } {\displaystyle Y} M a 249.6 719.8 432.5 432.5 719.8 693.3 654.3 667.6 706.6 628.2 602.1 726.3 693.3 327.6 Analytische Fortsetzung 83 3.1. {\displaystyle {\mathcal {O}}} f endobj /BaseFont/MYMOYK+CMR12 << Dabei wird unterschieden zwischen der Fortsetzung des Keimes entlang eines Weges und der Fortsetzung zu einer Funktion auf einem Gebiet. 1 /LastChar 196 ( Das ist mehr als der bloße Funktionswert φ Die Umlaufzahlversion des Cauchyschen Integralsatzes 5.1. F << f ) d Der Logarithmus ist eine Verhältniszahl mit der man eine andere Zahl potenzieren kann, um eine bekannten Zahlenwert zu erhalten.. Den Logarithmus braucht man um Exponentialgleichungen y = a x zu lösen.. Mit unseren bisherigen Mitteln können wir das noch nicht, weil die gesuchte Unbekannte im Exponent steht und wir hierfür noch keinen Rechenweg haben. 471.5 719.4 576 850 693.3 719.8 628.2 719.8 680.5 510.9 667.6 693.3 693.3 954.5 693.3 0 {\displaystyle p(d)} [ /Type/Font (b) Die Funktion log kann durch analytische Fortsetzung entlang des Weges jzj= 1, dh (t) = eit, festgelegt werden. von {\displaystyle f\colon U\rightarrow \mathbb {C} ,\;g\colon V\rightarrow \mathbb {C} } . c , p endobj Diese Seite wurde zuletzt am 19. Natürlich wird dann (ebenfalls nach dem Identitätssatz) durch diese Formel die eindeutige analytische Fortsetzung auf jedes Gebiet gegben, in dem der Logarithmus analytisch (als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion) definiert werden kann, also insbesondere auf jedes einfach zusammenhängende Gebiet G, Analytische Fortsetzung längs Kreisketten 4.3. c x /Widths[342.6 581 937.5 562.5 937.5 875 312.5 437.5 437.5 562.5 875 312.5 375 312.5 {\displaystyle X} : Die anregende Darstellung und der Einschluss der Resultate aus der … ( {\displaystyle c(1)=d} Die beiden letzten Beispiele zeigen zudem, dass es innerhalb von . Die Menge all dieser Äquivalenzklassen wird als Halm {\displaystyle a=p(b)} -Algebra. {\displaystyle \mathbb {C} } Durch analytische Fortsetzung oder durch Anwendung der Funktionalgleichung der Keim in φ O . Je nach der Art der analytischen Fortsetzung sollen in diesem Fall für den Imaginärteil des Logarithmus die Werte + π oder — π zugelassen werden. {\displaystyle \varphi } 15 Analytische Fortsetzung und der komplexe Logarithmus 62 16 Homotopie 66 17 Die Umlaufzahl 72 18 “Cauchy auf Zykeln” 75 19 Der Residuensatz 80 20 Residuenkalk¨ul 85 21 Kompakte Konvergenz 91 22 Konvergenzs¨atze 94 23 Der Riemann’sche Abbildungssatz 97 24 Partialbruchentwicklung 102. (a) Sei (X,π,ˆ f,ˆ ˆa) die maximale analytische Fortsetzung des Logarithmus über C∗. a 693.3 563.1 249.6 458.6 249.6 458.6 249.6 249.6 458.6 510.9 406.4 510.9 406.4 275.8 299.2 489.6 489.6 489.6 489.6 489.6 734 435.2 489.6 707.2 761.6 489.6 883.8 992.6 4. [ /Subtype/Type1 → {\displaystyle {\mathcal {O}}_{p(d)}} x Die maximale analytische Fortsetzung << f /LastChar 196 Die asymptotische Formel (1. /FontDescriptor 23 0 R ψ DER PRIMZAHLSATZ Setzt man γ:= inf{s∈ C : D(s) absolut konvergent}, so ist wegen Lemma 1.0.3 also D(s) auf der Halbebene Hγ absolut und lokal gleichm¨aßig konver- gent. ρ a eindeutig bestimmt ist. ψ {\displaystyle \varphi \in {\mathcal {O}}_{a}} << /Length 169 heißt maximale analytische Fortsetzung, falls für jede andere analytische Fortsetzung und Endpunkt c {\displaystyle \rho _{a}(f)} 675.9 1067.1 879.6 844.9 768.5 844.9 839.1 625 782.4 864.6 849.5 1162 849.5 849.5 p a ] 1 = a 1 und p {\displaystyle M} − https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Analytische_Fortsetzung&oldid=197906749, „Creative Commons Attribution/Share Alike“, wenn für jeden Punkt des Intervalls eine offene Umgebung existiert, auf der sich die Funktion durch eine absolut konvergente, Der Hauptzweig der Quadratwurzel, definiert auf der geschlitzten komplexen Ebene. ″ ) f φ a ∈ c 734 761.6 666.2 761.6 720.6 544 707.2 734 734 1006 734 734 598.4 272 489.6 272 489.6 . 2 KAPITEL 1. %PDF-1.2 Zum Logarithmus mit der Basis b gelangt man durch Division der Funktion L durch die Konstante L(b) = lnb. 458.6] {\displaystyle f(a)} umfasst, definiert ist und auf der Teilmenge ( b Eine übliche Wahl des Astschnitts ist die negative reale Achse, obwohl die Wahl weitgehend eine Frage der … Hier sind fast ausschließlich die Fälle von Interesse, in denen die Fortsetzung (und in der Regel auch ein maximales Gebiet) durch die vorgegebene Menge Z Analytische Fortsetzungen davon beispielsweise sind: Alle Beispiele haben gemeinsam, dass n-_�TϿeh�͗i!��,x�FZ5Z�S���8��̘o�g5�lإ 343.8 593.8 312.5 937.5 625 562.5 625 593.8 459.5 443.8 437.5 625 593.8 812.5 593.8 458.6 458.6 458.6 458.6 693.3 406.4 458.6 667.6 719.8 458.6 837.2 941.7 719.8 249.6 eine komplexe Mannigfaltigkeit und auf ihren Keim im Punkt {\displaystyle \varphi \in {\mathcal {O}}_{a}} kein größtes Gebiet gibt, auf dem die Funktion holomorph fortgesetzt werden kann. → Insbesondere existiert ein Zweig des Logarithmus im Komplement eines Strahls vom Ursprung bis zur Unendlichkeit: ein Zweigschnitt. f , /Type/Font b : . ~�r���tz�1[�]�jl�Hd��r��[P�_;+��um?x��w!�����H�.�G��h�U }|�"F�BDw�S�9x�DE)���. Diese Fortsetzung hängt im Allgemeinen von der Wahl des Weges ab (nicht jedoch von den Zwischenpunkten Analytische Fortsetzung und Kurvenintegrale 4.5. Um eine präzise Definition einer analytischen Fortsetzung im Sinne der Funktionentheorie zu geben, müssen zuerst die Begriffe Halm und Funktionskeim erläutert werden: Sei stream k /Font 16 0 R , /Subtype/Type1 f c {\displaystyle f'(a),f''(a)} C f Aus der reellen Analysis kennen wir die Potenzreihenentwicklung des reellen Logarithmus für . /Filter[/FlateDecode] f ∘ ein Punkt und ergeben. M Die weiteren Zweige von H (z) erhält man, wenn man in (1. /FontDescriptor 20 0 R {\displaystyle f} {\displaystyle f} ] wird mit sei der Keim desjenigen Zweiges der holomorphen Quadratwurzel mit 277.8 500] X , C p >> φ : , B. auf den komplexen Zahlen. {\displaystyle f} → ρ p ( O 25 0 obj = {\displaystyle \rho _{b}(f)=\psi } Der Halm O mit Zudem seien , denn diese treten als Konvergenzbereiche von Reihenentwicklungen auf; in diesem Fall spricht man von einer Kreiskette. ) ) [ n W {\displaystyle U} b ∈ sind von Natur aus „mehrdeutige Funktionen“. = usw. ) /FirstChar 33 21) die vom Hauptwert verschiedenen Zweige des Logarithmus einsetzt. Wenn {\displaystyle f|W=g|W} a = der reellen oder komplexen Zahlen definiert ist, eine analytische Funktion, die auf einem komplexen Gebiet, das 462.4 761.6 734 693.4 707.2 747.8 666.2 639 768.3 734 353.2 503 761.2 611.8 897.2 (a) Zeigen Sie, dass die Funktion log analytisch ist. . 0 … U existiert mit {\displaystyle a} = Die Existenz kann mit Hilfe der Garbentheorie gezeigt werden: mit offenen Umgebungen Verwenden wir fur die Kurve¨ γ etwa den Kreis γ(t) = e2πit so ergibt die analytische Fortsetzung l¨angs γ nach unserer obigen Rechnung den Funktionswert fe(1) = f 1(1) = Z γ dζ ζ = 2πi 6= ln(1) , … f , 667.6 719.8 667.6 719.8 0 0 667.6 525.4 499.3 499.3 748.9 748.9 249.6 275.8 458.6 Y X ein Funktionskeim. 750 708.3 722.2 763.9 680.6 652.8 784.7 750 361.1 513.9 777.8 625 916.7 750 777.8 heißt analytische Fortsetzung von endstream Die Theorie der riemannschen Flächen entstand aus der Tatsache, dass bei der analytischen Fortsetzung holomorpher Funktionen entlang unterschiedlicher Wege unterschiedliche Funktionswerte entstehen können, so wie es beispielsweise beim komplexen Logarithmus der Fall ist. a Script zur Vorlesung Mathematik f¨ur Physiker IV – Funktionentheorie – Prof. Dr. Frank Loose SS 2008 Eberhard-Karls-Universit¨at T ¨ubingen Florian Jessen f als Teilmenge von 36 3.6 Globale Stammfunktionen und der komplexe Logarithmus . q ) holomorphe Funktion Diese Reihe hat den Konvergenzradius 1. Y endobj | = Die Umkehrfunktionen der elementaren Funktionen (Wurzelfunktionen, Logarithmus, Arcussinus etc.) ) Durch analytische Fortsetzung oder einfach durch Ausnutzung der Beziehung erhält man den natürlichen Logarithmus für alle reellen Zahlen y > 1. 24 0 obj eingeführt werden. Hier bedeutet analytische Fortsetzung das Fortsetzen einer holomorphen Funktion bzw. {\displaystyle {\mathcal {O}}_{a}} {\displaystyle F\colon Z\rightarrow Y} . C 21 0 obj {\displaystyle a} Algebraische und analytische Eigenschaften von Exponentialfunktion und Logarithmus. X Exponentialfunktion und Logarithmus 4.2. . Für diese Fälle … 1 a Y {\displaystyle c\colon [0,1]\rightarrow Y} = Die Frage nach der größtmöglichen Fortsetzung führt zur Definition der maximalen analytischen Fortsetzung: Sei << analytische Fortsetzung - Funktionentheorie, Prof. G. Hemion Dieser Abschnitt soll eine kurze Einfuhrung in die analytische Fortsetzung von komplexen ... Dieser Satz l asst sich zum Beispiel fur den Logarithmus anwenden, welches in den Ubungen besprochen wurde. {\displaystyle U,V} Z ) b Analytische Fortsetzung 5.1 Analytische Fortsetzung längs Kreisketten ... 46 5.2 Der komplexe Logarithmus als Beispiel 48 5.3 Analytische Fortsetzung längs Wegen 50 5.4 Analytische Fortsetzung und Kurvenintegrale 52 5.5 Homotopie von Wegen 54 5.6 Der Monodromiesatz 59 5.7 Übungsaufgaben 62 5.8 Hinweise zu den Übungsaufgaben 63 6. ( , . << , falls eine Umgebung , In der Analysis versteht man unter der analytischen Fortsetzung einer Funktion, die auf einer Teilmenge der reellen oder komplexen Zahlen definiert ist, eine analytische Funktion, die auf einem komplexen Gebiet, das umfasst, definiert ist und auf der Teilmenge mit der ursprünglichen Funktion übereinstimmt. desjenigen Zweiges der holomorphen Quadratwurzel mit definiert durch einer Funktion das Verhalten von , mit U , Daher stellt D(s) eine auf Hγ analytische Funktion dar. {\displaystyle \varphi } {\displaystyle a}
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